Định nghĩa đại số

Tích vô hướng của hai vectơ A = [A1, A2,..., An] và B = [B1, B2,..., Bn] được định nghĩa như sau:[1]

A ⋅ B = ∑ i = 1 n A i B i = A 1 B 1 + A 2 B 2 + ⋯ + A n B n {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\sum _{i=1}^{n}A_{i}B_{i}=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+\cdots +A_{n}B_{n}}

trong đó Σ là phép lấy tổng và n là số chiều của không gian vectơ.

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng, tích vô hướng của hai vectơ [a, b] và [a', b'] là: aa'+bb'

Ví dụ 2: Trong không gian ba chiều, tích vô hướng của hai vectơ [a, b, c] và [a', b', c'] là: aa'+bb'+cc'

Định nghĩa hình học

Trong không gian Euclide, một vectơ Euclide là một đối tượng hình học có độ lớn và hướng và được biểu diễn bằng một mũi tên. Độ lớn của vectơ là chiều dài của vectơ và hướng của vectơ là hướng mà mũi tên chỉ đến. Độ lớn của vectơ A được ký hiệu là  ‖ A ‖ {\displaystyle \left\|\mathbf {A} \right\|} . Tích vô hướng của hai vectơ Euclide A and B được định nghĩa như sau:[2][3]

A ⋅ B = ‖ A ‖   ‖ B ‖ cos ⁡ ( θ ) , {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\ \|\mathbf {B} \|\cos(\theta ),}

trong đó θ là góc giữa A và B.

Trường hợp đặc biệt, nếu A và B trực giao thì góc giữa chúng là 90°, do đó:

A ⋅ B = 0. {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =0.}

Nếu chúng cùng hướng thì góc giữa chúng là 0°, do đó:

A ⋅ B = ‖ A ‖ ‖ B ‖ {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\left\|\mathbf {A} \right\|\,\left\|\mathbf {B} \right\|}

Suy ra tích vô hướng của vectơ A và chính nó là:

A ⋅ A = ‖ A ‖ 2 , {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =\left\|\mathbf {A} \right\|^{2},}

ta có:

‖ A ‖ = A ⋅ A , {\displaystyle \left\|\mathbf {A} \right\|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }},}

là khoảng cách Euclid của vecto.

Tính chất

Cho vectơ A = [A1, A2,..., An] ta có ‖ A ‖ = ∑ k = 1 n A k 2 {\displaystyle \left\|\mathbf {A} \right\|={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}A_{k}^{2}}}}

Phép chiếu vô hướng

Scalar projection

Phép chiếu vô hướng của một vectơ Euclide A lên hướng của vectơ Euclide B là:

A B = ‖ A ‖ cos ⁡ θ , {\displaystyle A_{B}=\left\|\mathbf {A} \right\|\cos \theta ,}

trong đó θ là góc giữa A và B.

Theo định nghĩa hình học, tích vô hướng được biểu diễn như sau: 

A B = A ⋅ B ^ , {\displaystyle A_{B}=\mathbf {A} \cdot {\widehat {\mathbf {B} }},}

trong đó  B ^ = B / ‖ B ‖ {\displaystyle {\widehat {\mathbf {B} }}=\mathbf {B} /\left\|\mathbf {B} \right\|}  là vectơ đơn vị cùng hướng với B.

Tính phân phối của tích vô hướng

Tích vô hướng được định nghĩa theo hình học như sau[4]

A ⋅ B = A B ‖ B ‖ = B A ‖ A ‖ . {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{B}\left\|\mathbf {B} \right\|=B_{A}\left\|\mathbf {A} \right\|.}

Tích vô hướng là thuần nhất, nghĩa là với đại lượng vô hướng α, ta có:

( α A ) ⋅ B = α ( A ⋅ B ) = A ⋅ ( α B ) . {\displaystyle (\alpha \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} =\alpha (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=\mathbf {A} \cdot (\alpha \mathbf {B} ).}

Tích vô hướng thỏa mãn luật phân phối:

A ⋅ ( B + C ) = A ⋅ B + A ⋅ C . {\displaystyle \mathbf {A} \cdot (\mathbf {B} +\mathbf {C} )=\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} +\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} .}

Từ những kết quả trên, ta kết luận rằng tích vô hướng thuộc dạng song tuyến. Hơn nữa, dạng song tuyến là không âm, nghĩa là  A ⋅ A {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }  không bao giờ âm và bằng 0 khi và chỉ khi  A = 0 . {\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {0} .}